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001.markdown公式

出处：博客园

原作者：行无际

插入公式

行内公式：

$公式$

单独的公式块：

$$
公式
$$

符号

上下标、运算符

显示效果 markdown 公式语法
上标 xy、e365 x^y、e^{365}
下标 xy、e365 x_y、e_{365}
分式 xy \frac{x}{y}
乘 × \times
除 ÷ \div
加减 ± \pm
减加 ∓ \mp
求和 ∑ \sum
求和上下标 ∑03、∑−∞∞ \sum_0^3、\sum_{-\infty}^{\infty}
求积 ∏ \prod
微分 ∂ \partial
积分 ∫、∫ \int、\displaystyle\int
不等于 ≠ \neq
大于等于 ≥ \geq
小于等于 ≤ \leq
约等于 ≈ \approx
不大于等于 ≱ \ngeq
点乘 a⋅b a \cdot b
星乘 a∗b a \ast b
绝对值 |a| \vert a \vert
取整函数 ⌊ab⌋ \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor
取顶函数 ⌈ab⌉ \left \lceil \frac{a}{b} \right \rceil

括号

显示效果 markdown 公式语法
圆括号（小括号） (ab)、(ab) \left( \frac{a}{b} \right)、(\frac{a}{b})
方括号（中括号） [ab]、[ab] \left[ \frac{a}{b} \right]、[\frac{a}{b}]
花括号（大括号） {ab}、{ab} \left \lbrace \frac{a}{b} \right \rbrace、\lbrace \frac{a}{b} \rbrace
角括号 ⟨ab⟩、⟨ab⟩ \left \langle \frac{a}{b} \right \rangle、\langle \frac{a}{b} \rangle
混合括号 [a,b)、[a,b) \left[ a,b \right)、[a,b)

三角函数、指数、对数

显示效果 markdown 公式语法
sin sin⁡(x) \sin(x)
cos cos⁡(x) \cos(x)
tan tan⁡(x) \tan(x)
cot cot⁡(x) \cot(x)
log log210、log210 log_2 10、log_2^{10}
lg lg⁡100 \lg 100
ln ln⁡2 \ln 2

数学符号

显示效果 markdown 公式语法
无穷 ∞ \infty
矢量 a→ \vec{a}
一阶导数 x˙ \dot{x}
二阶导数 x¨ \ddot{x}
算数平均值 a¯ \bar{a}
概率分布 a^ \hat{a}
虚数 i、j ı、ȷ \imath、\jmath
省略号（一） 1,2,3…,n 1,2,3\ldots,n
省略号（二） x1+x2+⋯+xn x_1+x_2+\cdots+x_n
省略号（三） ⋮ \vdots
省略号（四） ⋱ \ddots
斜线与反斜线 /ab\ \left/ \frac{a}{b} \right \backslash
上下箭头 ↑ab↓ \left \uparrow \frac{a}{b} \right \downarrow
角度 ∠ \angle
′ \prime
右单箭头 → \rightarrow
左单箭头 ← \leftarrow
右双箭头 ⇒ \Rightarrow
左双箭头 ⇐ \Leftarrow
上单箭头 ↑ \uparrow
下单箭头 ↓ \downarrow
上双箭头 ⇑ \Uparrow
下双箭头 ⇓ \Downarrow
长单箭头（其他方向同理） ⟶ \longrightarrow
长双箭头（其他方向同理） ⟹ \Longrightarrow
∇ \nabla
因为 ∵ \because
所以 ∴ \therefore
∣ \mid
∖ \backslash
∀ \forall
∃ \exists
∽、∼ \backsim、\sim
≅ \cong
∮ \oint
⟹ \implies
⟺ \iff
⟸ \impliedby

连线符号

显示效果 markdown 公式语法
a+b+c← \overleftarrow{a+b+c}
a+b+c→ \overrightarrow{a+b+c}
a+b+c↔ \overleftrightarrow{a+b+c}
a+b+c← \underleftarrow{a+b+c}
a+b+c→ \underrightarrow{a+b+c}
a+b+c↔ \underleftrightarrow{a+b+c}
a+b+c― \overline{a+b+c}
a+b+c― \underline{a+b+c}
a+b+c⏞Sample \overbrace{a+b+c}^{Sample}
a+b+c⏟Sample \underbrace{a+b+c}_{Sample}
a+b+c⏟1.0⏞2.0 \overbrace{a+\underbrace{b+c}_{1.0}}^{2.0}
a⋅a⋅a⏟b times \underbrace{a\cdot a\cdot a}_{b\text{ times}}
minimizew,bJ(w,b) \underset{w, b}{\operatorname{minimize}} J(w, b)
minimizew,bJ(w,b) \overset{w, b}{\operatorname{minimize}} J(w, b)
→Softmax \xrightarrow{\text{Softmax}}

高级运算符

显示效果 markdown 公式语法
平均数运算 xyz― \overline{xyz}
开二次方运算 xy \sqrt{xy}
开方运算 xn \sqrt[n]{x}
极限运算（一） limy→0x→∞xy \lim^{x \to \infty}_{y \to 0}{\frac{x}{y}}
极限运算（二） limy→0x→∞xy \displaystyle \lim^{x \to \infty}_{y \to 0}{\frac{x}{y}}
求和运算（一） ∑y→0x→∞xy \sum^{x \to \infty}_{y \to 0}{\frac{x}{y}}
求和运算（二） ∑y→0x→∞xy \displaystyle \sum^{x \to \infty}_{y \to 0}{\frac{x}{y}}
积分运算（一） ∫0∞xdx \int^{\infty}_{0}{xdx}
积分运算（二） ∫0∞xdx \displaystyle \int^{\infty}_{0}{xdx}
微分运算 ∂x∂y、∂2x∂y2 \frac{\partial x}{\partial y}、\frac{\partial^2x}{\partial y^2}

集合运算

显示效果 markdown 公式语法
属于 A∈B A \in B
不属于 A∉B A \notin B
子集 x⊂y、y⊃x x \subset y、y \supset x
真子集 x⊆y、y⊇x x \subseteq y、y \supseteq x
并集 A∪B A \cup B
交集 A∩B A \cap B
差集 A∖B A \setminus B
同或 A⨀B A \bigodot B
同与 A⨂B A \bigotimes B
异或 A⨁B A \bigoplus B
实数集合 R \mathbb{R}
自然数集合 Z \mathbb{Z}

希腊字母

大写字母 markdown 语法 小写字母 markdown 语法 中文注音
A A α \alpha 阿尔法
B B β \beta 贝塔
Γ \Gamma γ \gamma 伽马
Δ \Delta δ \delta 德尔塔
E E ϵ \epsilon 伊普西龙
Z Z ζ \zeta 截塔
H H η \eta 艾塔
Θ \Theta θ \theta 西塔
I I ι \iota 约塔
K K κ \kappa 卡帕
Λ \Lambda λ \lambda 兰布达
M M μ \mu 缪
N N ν \nu 纽
Ξ \Xi ξ \xi 克西
O O ο \omicron 奥密克戎
Π \Pi π \pi 派
P P ρ \rho 肉
Σ \Sigma σ \sigma 西格马
T T τ \tau 套
Υ \Upsilon υ \upsilon 宇普西龙
Φ \Phi ϕ \phi 佛爱
X X χ \chi 西
Ψ \Psi ψ \psi 普西
Ω \Omega ω \omega 欧米伽

空格

空格示例xy(小/中空格)xy(大空格)xy(1em宽度)xy(2em宽度)xy(负间距)
$$
\begin{array}{c}
\text{空格示例} \\
x\,y\:\text{(小/中空格)} \\
x\;y\;\text{(大空格)} \\
x \quad y \quad \text{(1em宽度)} \\
x \qquad y \qquad \text{(2em宽度)} \\
x \! y \! \text{(负间距)}
\end{array}
$$

字体转换

若要对公式的某一部分字符进行字体转换，可以用 {\font {需转换的部分字符}} 命令，其中 \font 部分可以参照下表选择合适的字体。一般情况下，公式默认为意大利体。

字体 显示效果 markdown 语法
罗马体 D \rm D
花体 D \cal D
意大利体 D \it D
黑板粗体 D \Bbb D
粗体 D \bf D
数学斜体 D \mit D
等线体 D \sf D
手写体 D \scr D
打字机体 D \tt D
旧德式字体 D \frak D
黑体 D \boldsymbol D

公式

基本函数公式

Γ(z)=∫0∞tz−1e−tdt
$$
\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt
$$

分段函数

分段函数

y={2x+1,x≤0x,x>0
$$
y=\begin{cases}
2x+1, & x \leq0\\
x, & x>0
\end{cases}
$$

方程组

{a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3
$$
\left \{ 
\begin{array}{c} # 这里的{c}代表居中对齐，居左使用{l}
a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ 
a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ 
a_3x+b_3y+c_3z=d_3
\end{array}
\right.
$$

积分

积分

∫θ1(x)θ2(x)=l
$$
\int_{\theta_1(x)}^{\theta_2(x)}=l
$$

二重积分

∬dxdy=σ
$$
\iint dx dy=\sigma
$$

三重积分

∭dxdydz=ν
$$
\iiint dx dydz=\nu
$$

微分和偏微分

一阶微分方程

dydx+P(x)y=Q(x)
$$
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)
$$
dydx|x=0=3x+1=1
$$
\left. \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \right|_{x=0}=3x+1=1
$$

二阶微分方程

y″+py′+qy=f(x)
$$
y''+py'+qy=f(x)
$$
d2ydx2+pdydx+qy=f(x)
$$
\frac{d^2y}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=f(x)
$$

偏微分方程

∂u∂t=h2(∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2)
$$
\frac{\partial u}{\partial t}= h^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)
$$

矩阵和行列式

起始标记 \begin{matrix} ，结束标记 \end{matrix}，每一行末尾标记 \，行间元素之间以 & 分隔。在起始、结束标记处用下列词替换 matrix。

pmatrix：小括号边框

(1234)
$$
\begin{pmatrix}
1&2\\
3&4\\
\end{pmatrix}
$$

bmatrix：中括号边框

[1234]
$$
\begin{bmatrix}
1&2\\
3&4\\
\end{bmatrix}
$$

Bmatrix：大括号边框

{1234}
$$
\begin{Bmatrix}
1&2\\
3&4\\
\end{Bmatrix}
$$

vmatrix：单竖线边框

|1234|
$$
\begin{vmatrix}
1&2\\
3&4\\
\end{vmatrix}
$$

Vmatrix：双竖线边框

‖1234‖
$$
\begin{Vmatrix}
1&2\\
3&4\\
\end{Vmatrix}
$$

无框矩阵

1xx21yy21zz2
$$
\begin{matrix}
    1 & x & x^2 \\
    1 & y & y^2 \\
    1 & z & z^2 \\
\end{matrix}
$$

单位矩阵

[100010001]
$$
\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1\\
\end{bmatrix}
$$

m × n 矩阵

A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn]
$$
A=\begin{bmatrix}
{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\
{a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\
{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\
{a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}}\\
\end{bmatrix}
$$

行列式

D=|a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn|
$$
D=\begin{vmatrix}
{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\
{a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\
{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\
{a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}}\\
\end{vmatrix}
$$

表格

abcR1cbaR2bcc
$$
\begin{array}{c|lll}
{}&{a}&{b}&{c}\\
\hline
{R_1}&{c}&{b}&{a}\\
{R_2}&{b}&{c}&{c}\\
\end{array}
$$

增广矩阵

[123456]
$$
\left [  \begin{array}  {c c | c} 
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{array}  \right]
$$

案例

上下标

^ 表示上标，_ 表示下标。如果上下标的内容多于一个字符，需要用 {} 将这些内容括成一个整体。上下标可以嵌套，也可以同时使用。

xyz=(1+ex)−2xyw
$$
x^{y^z}=(1+{\rm e}^x)^{-2xy^w}
$$

其中 \rm 表示字体转换。

转义

()、[] 和 | 表示符号本身，使用 \{ \} 来表示 {}。当要显示大号的括号或分隔符时，要用 \left 和 \right 命令。

f(x,y,z)=3y2z(3+7x+51+y2)
$$
f(x,y,z) = 3y^2z \left( 3+\frac{7x+5}{1+y^2} \right)
$$

行标

在公式末尾前使用 \tag{行标} 来实现行标。

(公式1)f([1+{x,y}(xy+yx)(u+1)+a]3/2)
$$
f\left(
   \left [ 
      \frac{
        1+\left\{x,y\right\}
     }{
        \left(
           \frac{x}{y}+\frac{y}{x}
        \right)
        \left(u+1\right)
     }+a
    \right] ^{3/2}
\right)
\tag{公式1}
$$

\left. 或 \right.

有时要用 \left. 或 \right. 进行匹配而不显示本身。

dudx|x=0
$$
\left. \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} \right| _{x=0}
$$

添加注释文字 \text

f(n)={n/2,if n is even3n+1,if n is odd
$$
f(n)= \begin{cases}
n/2, & \text {if $n$ is even} \\
3n+1, & \text{if $n$ is odd} \\
\end{cases}
$$

整齐且居中的方程式序列

37=732−1122=732122⋅732−1732=732122732−1732=73121−1732≈7312(1−12⋅732)
$$
\begin{align}
    \sqrt{37} & = \sqrt{\frac{73^2-1}{12^2}} \\
              & = \sqrt{\frac{73^2}{12^2}\cdot\frac{73^2-1}{73^2}} \\ 
              & = \sqrt{\frac{73^2}{12^2}}\sqrt{\frac{73^2-1}{73^2}} \\
              & = \frac{73}{12}\sqrt{1-\frac{1}{73^2}} \\ 
              & \approx \frac{73}{12}\left(1-\frac{1}{2\cdot73^2}\right) \\
\end{align}
$$

在一个方程式序列的每一行中注明原因

(1)v+w=0Given(2)−w=−w+0additive identity−w+0=−w+(v+w)equations (1) and (2)
$$
\begin{align}
    v + w & = 0  & \text{Given} \tag 1 \\
       -w & = -w + 0 & \text{additive identity} \tag 2 \\
   -w + 0 & = -w + (v + w) & \text{equations $(1)$ and $(2)$} \\
\end{align}
$$

文字在左对齐显示

if n is even:n/2if n is odd:3n+1}=f(n)
$$
    \left.
        \begin{array}{l}
            \text{if $n$ is even:} & n/2 \\
            \text{if $n$ is odd:} & 3n+1 \\
        \end{array}
    \right\}
    =f(n)
$$

连分式

x=a0+12a1+22a2+32a3+44a4+⋯
$$
x = a_0 + \cfrac{1^2}{a_1 +
            \cfrac{2^2}{a_2 +
              \cfrac{3^2}{a_3 +
                \cfrac{4^4}{a_4 + 
                  \cdots
                }
              }
            }
          }
$$

表格

通常，一个格式化后的表格比单纯的文字或排版后的文字更具有可读性。

数组和表格均以 \begin{array} 开头，并在其后定义列数及每一列的文本对齐属性，c l r 分别代表居中、左对齐及右对齐。若需要插入垂直分割线，在定义式中插入 | ，若要插入水平分割线，在下一行输入前插入 \hline 。

与矩阵相似，每行元素间均须要插入 & ，每行元素以 \ 结尾，最后以 \ end{array} 结束数组。

n左对齐居中对齐右对齐10.2411252−1189−83−2020001+10i
$$
\begin{array}{c|lcr}
    n & \text{左对齐} & \text{居中对齐} & \text{右对齐} \\
    \hline
    1 & 0.24 & 1 & 125 \\
    2 & -1 & 189 & -8 \\
    3 & -20 & 2000 & 1+10i \\
\end{array}
$$